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Sep 19, 2025
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ofdm
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数字通信
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数字通信
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Dec 2, 2025 12:37 PM
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1 OFDM 基本原理
OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) 正交频分复用是一种多载波调制技术, 基于FFT和IFFT实现, 其核心思想是将宽频带载波划分成多个带宽较小的正交子载波, 具有较好的抗多径衰落的能力, 支持多用户接入, 频谱效率高等特点。假设一共有 个子载波，每个子载波间隔为 ，其中 是符号时间，数学表达式如下：
复数表达式为：
1.1 时域频域波形
时域信号不是无限长的，需要对基带信号进行截断处理，变为一个时域有限信号，截取的时间长度即为 OFDM 的符号持续时间，记为 。这个处理相对于给基带信号乘以一个持续时间为 的矩形窗函数。
持续时间为 的矩形窗函数为 ，傅里叶变化为 ：
真实系统中没有负时间，需要将矩形窗右移到正时间轴：
如图所示，右移一段距离后，不影响频谱波形。OFDM 本质上式幅度调制，不管是频域或时域，数据本身的有效形式都是 ，因此时间窗移位到正时间轴上任意位置都可以。OFDM 的时域有限信号形式为：
信号时域相乘等于频域卷积，，单个子载波的频谱搬移过程如下：
OFDM 调制过程即为用不同频点的子载波信号的幅度表示 序列。子载波时域上被窗函数截断变成时域有限信号，这个时间窗也被称为脉冲成型滤波器，此时频域上一个子载波的波形由 函数表示。时频域波形如下：
频谱中每个子载波的峰值点正好在其余子载波的过零点。
1.2 正交性和子载波间隔
函数正交指任何两个相异的函数的乘积在 上的内积为 0 。
设一个 OFDM 符号持续时间 T 内任意两个子载波为 ，满足正交性的话有：
展开可得:
上述等式要成立，则需满足：
其中 m、n 为整数，相位参数可以取任意值，子载波频率要满足：
为整数，同时子载波间隔满足：
n 为整数，因此 n=1 时可以取到最小子载波间隔。
1.2.1 子载波间隔计算
调制过程中，IFFT 输出长度为 ，每个采样点时长为 ，一个 OFDM 符号时长为
正好与最小子载波间隔成倒数，符合计算结果。
1.3 频带效率
FDM 每个子载波都需要单独调制解调，系统复杂度高，并且由于频带保护间隔的存在，频谱效率较低。而 OFDM 的子载波频谱之间允许部分重叠，子载波信号依然保有正交性，节省传输带宽，并且 OFDM 只需进行一次调制解调，复杂度低。
假设 OFDM 有 $N$ 个子载波，符号持续时间为 $T$，每个子载波采用 M 进制的调制方式，占用的频带宽度为：
B_{OFDM}=(N+1)\Delta f =\frac{N+1}{T}(Hz) \tag{9}
频带利用率为单位带宽传输的比特率：
OFDM 参数计算
符号
- $N_{fft}$：FFT 的点数
- $N_{used}$：实际上使用的子载波数（去掉保护边带、保护频点、导频）
- $f_s$：采样率
- $T_s$：采用周期
- $\Delta_f$：子载波间隔
- $T_u$：有用符号时长，不包含 CP
- $T_{cp}$：循环前缀时长
- $T_{sys}=T_u+T_{cp}$：完整 OFDM 符号时长
- $R_s=\frac{1}{T_{sym}}$：OFDM 符号率
- 子载波调制阶数 $M$
- 纠错编码率 $R_c$
频域正交条件
在连续时间基带表示下，第 $k$ 个子载波的基函数为，若要在区间 t\in[0,T_u)上相互正交，则要满足：
满足上面的式子的条件为：
子载波间隔等于有用符号时长的倒数
IFFT/FFT 与采样率之间的关系
在使用 N 点 IFFT 实现 OFDM 的过程中，离散频率格点的间隔是 $\frac{f_s}{N}$，为了让离散实现的子载波间隔等于 $\Delta f$，则需要满足：
可以计算出：
循环前缀与符号率
完整的 OFDM 符号时长为：
循环前缀通常以有用符号时长的比例给出，$T_{cp}=\alpha T_u,\alpha可能为1/8，1/16等$。CP 的样本数为：
为了把多径线性卷积转化为循环卷积，需要：
其中的为离散时间信道脉冲响应的抽头数
有效数字速率
每个 OFDM 符号在所有有效子载波上能承载的比特数量为：
考虑编码率和导频等开销，单个符号的有效信息比特数为：